지오지브라(Geogebra)에서 하이포사이클로이드 그리기

두 원이 있을 때 작은 원이 큰 원에 내접하면서 움직일때 작은 원 위에 있는 한 정점이 그리는 자취가 하이포사이클로이드(hypocycloid)이다.

두 원의 반지름을 각각 $R, r(R>r)$이라고 하자. 작은원이 큰원에 접하면서 회전했을때, 작은원의 중심 $A$는 큰원의 중심$O$를 중심으로 $\theta$만큼 회전했다고 하고, 원위의 정점을 $P(x(\theta),y(\theta))$라고 하자. 그러고 $x(0)=R, y(0)=0$이라 하고 $B=(R,0)$로 하자.

이제 $\theta$에서 정점 $P$의 자취를 찾아보자. 작은원과 큰원의 교점을 $C$라 하면, 작은원에서의 원호${PC}$와 큰원에서의 원호$BC$의 길이는 같다. 각$PAC$를 $\alpha$라 하면,

$$R\theta=r\alpha$$ , $$\alpha=\frac{R}{r}\theta$$

이다. 작은원의 중심 $A$를 지나고 $x$축에 평행한 직선과 선분 $\overline{AP}$가 이루는 각을 $\phi$라 하면, $P(x(\theta),y(\theta))$는

$$x(\theta)=(R - r) \cos \theta + r \cos \phi = (R - r) \cos \theta + r \cos \left( \frac{R-r}{r} \theta \right)$$

$$y(\theta) = (R - r) \sin \theta - r \sin \phi = (R - r) \sin \theta - r \sin \left(\frac{R - r}{r} \theta \right)$$

이다. 자취의 모양은 $\cfrac{R}{r}$에 의해 결정된다.

지오지브라에서(geogebra) 하이포사이클로이드 그리기

1. 입력창에 R=6, r=2 그리고 O=(0,0)를 입력한다.
2. 중심과 반지름이 있는 원 툴 을 이용하여 중심 $O$, 반지름 $R$인 원을 그린다.
3. 중심과 반지름이 있는 원 툴 을 이용하여 중심 $O$, 반지름 $R-r$인 원을 그린다.
4. 입력창에 A=(R,0)를 입력한다.
5. 선분 툴 을 이용하여 선분 $\overline{OA}$를 그린다.
6. 입력창에 $\theta_1=40$을 입력한다. 슬라이더 설정사항에서 최소 $0$ 최대 $1000$ 간격 $0.01$으로 설정한다.
7. 점을 중심으로 회전 툴 을 이용하여 점 $A$를 중심 $O$으로 $\theta_1$만큼 시계반대 방향 회전한 점$C$를 그린다.
8. 선분 툴 을 이용하여 선분 $\overline{OC}$를 그린다.
9. 교점 툴 을 이용하여 선분 $\overline{OC}$와 작은원 $c$의 교점 $B$를 그린다.
10. 각 툴 을 이용하여 각$\angle COA$를 그린다(A O C 순으로 클릭).
11. 중심과 반지름이 있는 원 툴 을 이용하여 중심 $B$, 반지름 $r$인 원을 그린다.
12. 점을 중심으로 회전 툴 을 이용하여 점 $C$를 중심 $B$으로 $\frac{R}{r} \theta_1$만큼 시계 방향 회전한 점$P$를 그린다. 설정사항에서 자취보이기 체크하여 활성화 한다.
13. 선분 툴 을 이용하여 선분 $\overline{BP}$를 그린다.
14. $\theta_1$를 슬라이더 이용하여 $0$으로 하고 애니메이션 체크한다.

1. 각 툴 을 이용하여 각$\angle CBP$를 그린다(P B C 순으로 클릭).
2. 평행선 툴 을 이용하여 $x$축에 평행하고 점 $B$를 지나는 직선을 그린다.
3. 교점 툴 을 이용하여 선분 $k$와 원 $d$의 교점 $D$를 그린다.
4. 선분 툴 을 이용하여 선분 $\overline{BD}$를 그린다.
5. 각 툴 을 이용하여 각$\angle PBD$를 그린다(P B D 순으로 클릭).