수치해석학 - 05. 비선형 방정식의 해 - 1

05. 비선형 방정식의 해 Numerical Solutions of Algebraic and Transcendental Equations

1. 소개 INTRODECTION

함수 $f(x)=0$ 의 실수해를 찾기 위한 수치 계산 문제를 고려해 보자. 여기서 함수 $f(x)$ 는 연속이며 여러 번 미분가능 함을 가정한다.

수치해를 위한 모든 방법은 두 단계로 구성된다. 첫 번째 단계에서는 대략적인 해의 위치를 찾고, 두 번째 단계에서 원하는 정확도를 가지는 해를 찾는다.

2. 기본 개념과 정의 Basic Concepts and Definitions

반복법 수열의 필요충분 조건 Sequence of Successive Approximations

수열 $\{x_n\}$ 이 방정식 $f(x)=0$ 의 해 $\alpha$ 으로 수렴 한다고 하자. $n$번째 error $\epsilon_n$ 은

$$\epsilon_n = \alpha - x_n$$

으로 정의 된다. 또한, $\epsilon_n​$의 근사치로 $h_n​$을 다름과 같이 정의 한다.

$$h_n = x_{n+1} - x_n = \epsilon_{n+1} - \epsilon_n$$

반복법이 수렴하기 위한 필요충분 조건 은 $n \rightarrow \infty$ 이면 $\epsilon_n \rightarrow 0$ 이다.

수렴차수 Order of Convergence

만약 반복법이 수렴하고 다음

$$\lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{\epsilon_{n+1}}{\epsilon_n^p} \right| = C$$

만족하는 상수 $p \le 1$, $C >0$가 존재하면 $p$를 반복법의 수렴차수(order of convergence) 라고 하고, C를 근사 오차 계수(asymptotic error constant) 라고 한다.

반복 수열 $\{x_n| n \ge 0\}$ 이

$$\left| \epsilon_{n+1} \right| \le k \left| \epsilon_n \right|^p,~ n \ge 0$$

을 만족하면 수렴차수 $p \ge 1$를 가지며 해 $\alpha$로 수렴한다고 한다. 만약 $p = 1$ 이면 반복 수열 $\{x_n| n \ge 0\}$ 은 선형수렴(linearly convergent) 한다고 한다. 만약 $p = 2$ 이면 반복 수열 $\{x_n| n \ge 0\}$ 은 이차적수렴(quadratic convergent) 한다고 한다.

3. 초기 근사값 Initial Approximation

3.1 그래프 방법 Graphical Method

$y = f(x)$ 의 그래프를 그리면 $x$축과 만나는 점이 $f(x) = 0$의 해가 된다. 이 점의 근방의 어떤점을 해를 찾기위한 반복법의 초기점으로 사용할 수 있다.

방정식 $f(x) = 0$은 $g(x) = h(x)$로 쓰여질 수도 있다. 여기서 $y=g(x)$ 및 $y=h(x)$의 그래프를 쉽게 그릴 수 있다. 두 그래프의 교점의 x좌표는 $f(x)=0$ 의 해라고 할 수 있다. 따라서 이점 근방의 임의의 값을 초기 근사값으로 사용할 수 있다. 예를 들어 아래 함수 $y=\cos x - x e^x$ 의 그래프와 $y=x$ 그리고 $y=\dfrac{\cos x}{e^x}$ 를 살펴보자. 두 함수의 그래프 교점이 $f(x)=0$ 의 해와 일치 함을 할 수 있다.

정리 폐구간 $[a, b]$ 에서 함수 $f(x)$가 연속이고 $c$가 $f(a) \leq c \leq f(b)$ 을 만족하는 임의의 상수 이면, $f(\alpha)=c$를 만족하는 $\alpha \in [a, b]$ 가 적어도 하나 존재한다.

3.1 증분 추적 방법 Incremental Search method

증분 추적 방법은 해가 존재해야하는 x의 두 값의 구간을 찾는데 사용되는 수치 방법이다. 초기 값 $x_0$와 충분히 간격 $\Delta x$로 시작한다. 여기서 해의 위치를 $x$축 왼쪽에서 오른쪽으로 검색할 것이다.

다음식을 사용하면 $x_1$의 값을 쉽게 계산할 수 있다.

$$x_1 = x_0 + \Delta x$$

이 식을 반복식으로 나타내면,

$$x_n = x_{n-1} + \Delta x$$

을 얻을 수 있다.

만약 $f(x_{n-1}) f (x_n)<0$ 이면 구간 $[x_{n-1}, x_n]$ 사이에 해가 있음을 보장 할 수 있다.

**예제 3.1 ** 방정식 $f(x) = \cos x-x e^x = 0$의 해에 대한 초기 근사값를 얻기 위해 $x$의 알려진 값에 대해 $f(x)$ 값의 표를 살펴보자.

$x$	$0$	$0.5$	$1$	$1.5$	$2$
$f(x)$	$1$	$0.0532$	$-2.1780$	$-6.6518$	$-15.1942$

이 표에서 방정식 $f(x) = 0$은 구간 $(0.5,1)$에 적어도 하나의 해를 가지고 있음을 알 수 있다.

예제 3.2 이번에는 두자리수 정확도를 갖는 $f(x) = 10^x - x - 4 = 0$ 방정식의 실제 해를 찾아 보자.

풀이 구간 $[0,1]$ 에서 $f(x)$ 값을 $0.1$ 간격의 표로 만들어 보자.

$x$	$f(x)$
$0$	$-3$
$0.1$	$-2.841$
$0.2$	$-2.615$
$0.3$	$-2.305$
$0.4$	$-1.888$
$0.5$	$-1.338$
$0.6$	$-0.6189$
$0.7$	$0.3119$
$0.8$	$1.510$
$0.9$	$3.043$
$1$	$5$

주어진 방정식의 해는 $(0.6,0.7)$ 에 있다. $0.6$ 에서 $0.7$ 사이의 부호 변화가 있기 때문에 0.6에서 0.7 사이의 실수해가 적어도 하나 존재한다. 구간의 길이를 $0.01$ 로하여 $0.6$ 에서 $0.7$ 사이에서 다시 표를 작성해 보자.

$x$	$f(x)$
$0.6$	$-0.6189$
$0.61$	$-0.5862$
$0.62$	$-0.4513$
$0.63$	$-0.3642$
$0.64$	$-0.2748$
$0.65$	$-0.1832$
$0.66$	$-0.0891$
$0.67$	$0.0073$
$0.68$	$0.1063$
$0.69$	$0.2078$
$0.7$	$0.3119$

위 표로부터 해가 0.66과 0.67 사이에 있음을 알 수 있다. 그러므로, 실제해의 값을 두 개의 유효숫자에 대해 0.67이라는 결론을 내릴 수 있다.